TUTORIAL

BY KUROSAKI, 15 Mei 2021

BARISAN ARITMATIKA PART 1

Oke teman – teman di sini kak kurosaki akan sedikit membahas tentang salah satu materi di SMA/SMK atau Sederajat yang berhubungan dengan Barisan dan Deret Bilangan, disini saya akan membahas tentang Barisan Aritmatika.

Barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang setiap suku – sukunya memiliki jumlah selisis yang sama (konstan). Misalkan suatu barisan aritmatika adalah a, b dan c. maka c - b = b -a. Selisih dalam barisan aritmatika tersebut dilambangkan dengan “b” atau biasa disebut dengan “beda”.

b = Un – U_n-1

Suku – suku dalam barisan aritmatika ini biasa dilambangkan dengan symbol “Un” atau disebut dengan Suku ke – n. suku pertama dalam barisan aritmatika biasa dilambangkan dengan “a” atau suku ke -1 atau suku paling awal pada barisan aritmatika.

Berikut ini adalah contoh – contoh dari barisan aritmatika:

1.      3, 6, 9, 12, 15, . . .

2.      5, 7, 9, 11, 13, 15, . . .

3.      20, 18, 16, 14, 12, 10, . . .

Nah dari situ kalian sudah pahamkan! Selanjutnya akan saya jelaskan tentang penggunaan rumus barisan aritmatika.

Un = a + (n – 1) b

Keterangan :

Un = Suku ke – n

a    = Suku pertama (U₁)

b    = Beda (selisih dari 2 suku yang berurutan)

n    = banyak suku

syarat untuk menggunakan rumus diatas adalah harus memenuhi 3 syarat yaitu;

1.      Kalian harus mengetahui nilai “a” atau suku pertama dari barisan bilangan

2.      Kalian harus mencari selisih atau beda (b) dari suku barisan dengan cara mengurangi suku di depannya dengan tepat suku sebelumnya. Misal U₂ – U₁ atau U₃ – U₂ dst.

3.   Selanjutnya cari nilai “n” dengan melihat pada soal untuk suku ke-n yang ditanyakan. Misalkan tentukan nilai suku ke – 20, maka nilai “n” nya adalah 20.

Contoh soal

1.      Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut!

4, 7, 10, 13, 16, 19, 23 , . . .

Tentukan suku ke – 16 dari barisan tersebut:

Answer:

Seperti cara diatas harus memenuhi 3 syarat kan, ok

a.      Pertama cari nilai “a” dilihat pada barisan diatas di ketahui bahwa suku pertama pada barisan aritmatika adalah 4, sehingga kita dapat nilai a = 4

b.      Kedua kita cari beda (b) dari barisan aritmatika tersebut, kita ambil suku ke 1 dan ke 2 yaitu 4 dan 7, Sehingga diperoleh nilai b = 7 – 4 = 3

c.       Selanjutnya kita cari n, di soal diketahui dengan jelas bahwa yang ditanyakan adalah suku ke – 16, maka nilai n diperoleh 16.

Nah setelah 3 syarat terpenuhi, kita bisa menggunakan rumus Un untuk mencari nilai suku ke – 16.

Un = a + (n – 1) b

Un = 4 + (16 – 1) 3

Un = 4 + (15) 3

Un = 4 + 45

Un = 49

Sehingga diperoleh bahwa nilai suku ke – 16 adalah 49

Sekian penjelasan tutorial tentang cara menghitung barisan aritmatika, kritik dan saran sangat kami tunggu untuk memperbaiki kualitas konten ini. Terima kasih.

Post by Kurosaki

Matriks singular dan non singular

A.    Matriks singular

Matriks singular merupakan suatu matriks persegi yang memeiliki determinan = 0, sehingga matriks tersebut tidak memiliki invers matriks.

Matriks  P diketahui sebagai berikut:  

Contoh:

1.      Diketahui matriks P dan Q adalah sebagai berikut:

Jika matriks A dan B merupakan matriks singular. Maka tentukan nilai x dan y adalah . . .

Penyelesaian:

a.       Karena singular, maka nilai matriks A adalah 0, sehingga:

b.      Karena singular, maka nilai matriks B adalah 0, sehingga:

Sehingga diperoleh nilai x = - 4 dan y = 8.

By kurosaki

Materi : Luas dan Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung (Tabung, Kerucut, Bola)

Topik              : Bola Perubahan dan Gabungan Part 1

Masalah Kontekstual 3

Bola dan Kerucut

Pada gambar di samping adalah alat cetak dari semen berbentuk setengah bola yang tengahnya diberi lubang berbentuk kerucut sedemikian hingga ujung runcing (puncak) kerucut menempel pada kulit bola. Jari – jari bola 4 cm, sedangkan jari –jari kerucut 3 cm.

1.       Hitunglah luas permukaan benda tersebut.

Penyelesaian :

Diketahui             : r_bola      = 4 cm   ; r_kerucut  = 3 cm   ; t_kerucut = 3 cm   

Ditanya                 : luas permukaan?

Jawab                   : sebelum itu tentukan garis pelukis dari kerucut terlebih dahulu.

Luas 1                    = πrs

                                = 3,14 x 3 x 5

                                = 3,14 x 3 x 5

                                = 47,1 cm²

Luas 2                    = πr_b² – πr_k²

                                = 3,14 x 4² - 3,14 x 3²

                                = 3,14 x 16 - 3,14 x 9

                                = 50,24 – 28,26

                                = 21,98 cm²

Luas 3                    = 2πr²

                                = 2 x 3,14 x 4²

                                = 2 x 3,14 x 16

                                = 100,48 cm²

Luas total             = 47,1 + 21,98 + 100,48 = 169,56 cm²

2.       Hitunglah volumenya.

Penyelesaian :

Diketahui             : r_bola      = 4 cm   ; r_kerucut  = 3 cm   ; t_kerucut = 3 cm   

Ditanya                 : Volume ?

Jawab                    : Volume dari bangun tersebut adalah volume setengah bola dikurangi volume kerucut, sehingga diperoleh:

                               Volume                 bangun                 = Volume bola – Volume kerucut

                                                                                = ½ x 4/3 x π x r³ – 1/3 x π x r² x t

                                                                                = ½ x 4/3 x 3,14 x 4³ – 1/3 x 3,14 x 3² x 4

                                                                                = ½ x 4/3 x 3,14 x 64 – 1/3 x 3,14 x 9 x 4

                                                                                = 133,97 – 37,68

                                                                                = 96,26 cm³

Jadi volume alat cetak semen adalah  96,26 cm³

Masalah Kontekstual 2

Tabung dan Bola

Gambar di samping adalah sebuah plastisin (malam) berbentuk tabung yang dibagian atasnya diberi lubang berbentuk setengah bola sedemikian hingga diameter bola sama dengan diameter tabung. Jari – jari bola 7 cm, sedangkan tinggi tabung 15 cm.

1.       Hitunglah luas permukaan benda tersebut.

Penyelesaian :

Diketahui             : r_bola = r_tabung = m 7 cm

                                  T_tabung = 15 cm

Ditanya                 : Luas permukaan.

Jawab                    : Luas permukaan bangun plastisin terdiri dari alas tabung, selimut tabung dan    jjjjsetengah bola.

                Luas alas              = π x r²

                                                = 22/7 x 7 x 7

                                                = 154 cm²

                Luas selimut       = 2 x π x r x t

                                                = 2 x 22/7 x 7 x 15

                                                = 660 cm²

                Luas ½ bola         = 2 x π x r²

                                                = 2 x 22/7 x 7 x 7

                                                = 308 cm²

2.       Hitunglah volumenya.

Penyelesaian :

Diketahui             : r_bola = r_tabung = m 7 cm

                                  T_tabung = 15 cm

Ditanya                 : Volume …...?

Jawab                   : volume benda yaitu voume tabung – volume setengah bola.

Volume benda = volume tabung – volume ½ bola

                                = π x r² x t – 2/3 x π x r³

                                = 22/7 x 7² x 15 – 2/3 x 22/7 x 7³

                                = 2.310 – 718,67

                                = 1.591,67 cm³

 By kurosaki

Materi : Luas dan Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung (Tabung, Kerucut, Bola)

Topik              : Bola Perubahan dan Gabungan

Masalah Kontekstual 1

Bola dan Perubahannya

Sebuah bangun ruang sisi lengkung berbentuk bola dengan jari – jari r cm.

1.       Tuliskan rumus volume bola tersebut.

Penyelesaian :

Diketahui             : jari – jari = r

Ditanya                 : rumus volumne?

Jawab                   : Volume Bola = 4/3 x π x r³

2.       Jika jari – jari bola tersebut diperbesar 3 kali lipat dari jari – jari semula, maka volume bola yang baru akan menjadi berapa kali dari volume sebelumnya.

Penyelesaian :

Diketahui             : r₁ = r

                                  r₂ = 3r₁

                                      = 3r

Ditanya                 : volume bola yang baru.

Jawab                   : Volume Bola = 4/3 x π x r³

                                  V₂.r³ = 27 V₁.r³ (karena ke-2 ruas memiliki r3, maka bias di eliminasi/dicoret)

                                  V₂ = 27 V₁

Sehingga volume bola yang baru adalah 27 kali dari volume bola sebelumnya

3.       Jika jari – jari bola tersebut diperbesar 1/2 kali lipat dari jari – jari semula, maka volume bola yang baru akan menjadi berapa kali dari volume sebelumnya.

Penyelesaian :

Diketahui             : r₁ = r

                                  r₂ = ½  r₁

                                      = ½ r

Ditanya                 : volume bola yang baru.

Jawab                   : Volume Bola = 4/3 x π x r³

                                  V₂.r³ = 1/8 V₁.r³ (karena ke-2 ruas memiliki r³, maka bias di eliminasi/dicoret)

                                  V₂ = 1/8 V₁

Sehingga volume bola yang baru adalah 1/8 kali dari volume bola sebelumnya

Masalah Kontekstual 2

Bola dan Tabung

Sebuah mangkok berisi air berbentuk setengah bola yang penuh terisi air dan sebuah tabung kosong yang terbuka tanpa tutup. Seluruh air dalam mangkok dituang ke dalam tabung. Diketahui jari – jari bola 10 cm, sedangkan jari – jari tabung 7 cm dan tingginya 20 cm.

1.       Hitunglah volume air dalam mangkok tersebut.

Penyelesaian :

Diketahui             : r_bola = 10 cm

Ditanya                 : Volume air.

Jawab                   :

volume air dalam tabung = volume mangkok. Jadi rumus yang digunakan adalah volume bola. Sehingga diperoleh:

Volume air        = ½ x 4/3 x π x r³

                              = ½ x 4/3 x 3,14 x 10³

                              = ½ x 4/3 x 3,14 x 1000

                              = 2.093,33 cm³

2.       Setelah semua air tertuang ke dalam tabung, hitunglah ketinggian air tersebut.

Penyelesaian :

Diketahui             : r_bola          = 10 cm

                                  r_tabung     =   7 cm

Ditanya                 : ketinggian air (t_air).

Jawab                   :

volume air dalam tabung = volume mangkok. Jadi rumus yang digunakan adalah perbandingan volume tabung dan bola. Sehingga diperoleh:

Volume tabung = Volume air

π x r² x t_air            = 2.093,33

22/7 x 7² x t_air     = 2.093,33

154 x t_air               = 2.093,33

t_air                          = (2.093,33) : 154

t_air                          = 13,59 cm

 Post by Kurosaki,

Kegiatan              : Masalah kontekstual  

Materi                  : Bola (luas dan volume bangun ruang sisi lengkung)

Pembahasan Masalah kontekstual 1

Industry Pengrajin Bola Mandiri Purworejo

Desa kaliboto, kecamatan Bener, Purworejo cukup dikenal sebagai pusat pembuatan bola. Sebagian besar warganya ikut terlibat kerajinan pembuatan bola sepak. Setiap harinya dapat memproduksi 180 bola.

Bahan dalam pembuatan bola sepak yaitu terbuat dari bahan karet dan memiliki ukuran keliling yaitu antara 68 – 70 cm dan mempunyai berat antara 410 – 450 gram yang mana bola tersebut memiliki tekanan udara sebesar 0,60 sampai dengan 1,1 atm.

1.       Untuk bola dengan ukuran keliling 70 cm, hitunglah luas permukaan bola tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui   : Keliling = 70 cm

Ditanya       : Luas permukaan bola.

Jawab          : ingat sebelum mencari luas permukaan bola, tentukan diameter atau jari – jari bola terlebih dahulu. Untuk mencarinya kita gunakan rumus keliling lingkaran.

K = πd atau K = 2πr

K = 2πr

r = K/2π

r = 70/2 (3,14)

r = 70/6,28

r = 11,15 cm

selanjutnya akan kita hitung luas permukaan bola.

Lp = 4πr²

       = 4 x 3,14 x (11,15)²

       = 4 x 3,14 x 124,3225

       = 1.561,49 cm²

Jadi luas permukaan bola adalah 1.561,49 cm²

2.       Jika harga 1 bola adalah Rp 115.000,. berapakah uang yang didapatkan pengrajin dalam sehari. (semua bola terjual habis).

Penyelesaian:

Diketahui   : harga 1 bola Rp 115.000

                          Jumlah bola (n) 180 bola

Ditanya       : uang yang diperoleh pengrajin.

Jawab          : ingat bola terjual semua.

Jadi uang yang diperoleh     = n x Rp 115.000

                                                       = 180 x Rp 115.000

                                                       = Rp 20.700.000,00

Jadi banyak uang yang diperoleh pengrajin jika terjual semua adalah Rp 20.700.000,00

Pembahasan Masalah kontekstual 2

Tugu Globe

Sebuah tugu berbentuk bola tiruan bumi/globe yang berukuran besar dengan besar diameter 7 meter akan dilakukan pengecatan, karena sudah pudar warnanya terkena panas hujan. Cat dasar yang digunakan adalah cat khusus untuk eksterior, sehingga tahan terhadap cuaca ekstrim. Harga 1 kaleng cat tersebut adalah Rp 125.000,00 dan mampu menutup daerah seluas 3 m².

1.       Hitunglah luas permukaan globe tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui             : diameter 7 m, maka jari – jari (r) = 3,5 m

Ditanya                 : Luas permukaan bola

Jawab                   : Luas permukaan bola   = 4πr²

                                                                                = 4 x 22/7 x 3,5 x 3,5

                                                                                = 4 x 22 x 0,5 x 3,5

                                                                                = 154 m²

2.       Berapa kaleng cat minimal yang dibutuhkan untuk mengecat globe satu kali lapisan cat (cat dasar).

Penyelesaian:

Diketahui             : 1 kaleng cat dapat menutup 3 m²

Ditanya                 : banyak kaleng

Jawab: banyak kaleng cat             = Luas permukaan : 3

                                                                = 154 : 3

                                                                = 51,33

                                                                = 52 (dibulatkan ke atas)

Jadi banyak kaleng cat yang dibutuhkan adalah 52 kaleng.

Pembahasan Masalah kontekstual 3

Bola Terpotong

Sebuah bola pejal dari bahan karet, dipotong mendatar sampai melewati titik pusatnya. Bola tersebut berdiameter 28 cm. ditengahnya diberikan lubang berbentuk setengah bola juga dengan diameter setengah dari diameter bola yang besar.

1.       Hitunglah luas permukaan bangun tersebut!

Penyelesaian:

Diket     : d₁ = 28 cm maka jari –jari r₁ = 14 cm

                  d₂ = ½ dari d₁ , maka jadi 14 cm dan jari – jari r₂ = 7 cm

Ditanya : Luas permukaan bangun diatas.

Jawab   : berdasarkan gambar diatas terlihat 3 bagian yang bias dihitung luasnya.

a.       Luas alas      = π {(r₁)² – (r₂)²}

= 3,14 (14² – 7²)

= 3,14 (196 – 49)

= 3,14 (147)

= 461,58 cm²

b.      Luas dalam bola kecil              = ½ x 4 x π x (r₂)²

= ½ x 4 x 22/7 x 7²

= 2 x 22 x 7

= 308 cm²

c.       Luas permukaan bola luar    = ½ x 4 x π x (r₁)²

= ½ x 4 x 22/7 x 14²

= 2 x 22 x 2 x 14

= 1.232 cm²

Luas permukaan total            = 461,58 + 308 + 1.232

                                                        = 2.001,58 cm²

Jadi luas bangun bola pejal adalah 2.001,58 cm²

2.       Hitunglah volumenya!

Diket     : d₁ = 28 cm maka jari –jari r₁ = 14 cm

                  d₂ = ½ dari d₁ , maka jadi 14 cm dan jari – jari r₂ = 7 cm

Ditanya : Volume bola pejal.

Jawab   : berdasarkan gambar diatas volume bola pejal adalah volume setengah bola besar dikurangi dengan setengah bola kecil, maka diperoleh:

Volume Bola      = 4/3 x π {(r₁)³ – (r₂)³}

                                = 4/3 x 3,14 (14³ – 7³)

                                = 4/3 x 3,14 (2.744 – 343)

                                = 4/3 x 3,14 (2.401)

                                = 4/3 x (7.539,14)

                                = 10.052,19 cm³

Jadi volume bola adalah 10.052,19 cm³